МАГИСТРАЛЬНЫЕ НЕФТЕПРОВОДЫ

Инерционные свойства потока нефти в трубопроводе

Предположим, что нефть с плотностью ρ₀ и скоростью u₀ течет в трубе с поперечным сечением S₀ (рисунок выше). Предположим, что в сечении x₁ происходит некоторое изменение скорости этого потока, Δu = u₁ - u₀. Например, поток замедляется, т.е. изменение таково, что скорость потока составляет u₁ < u₀. Что происходит в этом случае? Слой жидкости, идущий сзади, замедляется и сжимает слой жидкости, идущий спереди. При этом давление жидкости увеличивается от p₀ до p₁, плотность жидкости увеличивается от ρ₀ до ρ₁, площадь поперечного сечения нефтяной трубы увеличивается от S₀ до S₁, а сама область турбулентности расширяется со скоростью c. Эта область имеет протяженность Δl. Конечно, изменения плотности нефти Δρ = ρ₁ - ρ₀ и площади поперечного сечения трубы ΔS = S₁ - S₀ малы и незаметны глазу, но оказывается, что их необходимо учитывать для правильного понимания физического явления.

Рассмотрим теперь уравнения для баланса массы и импульса возмущенного участка трубы.

Баланс массы

Изменение массы Δm нефти на этом участке составляет, с одной стороны, Δm = Δl(S₀Δρ + ρ₀ΔS), а с другой - Δm = ρ₀(u₀ - u₁)S₀Δt, где Δt = Δl/c - интервал времени, в течение которого возмущение распространяется на расстояние Δl. Таким образом, баланс массы имеет вид:

Теперь определим относительное изменение плотности нефти Δρ/ρ₀ и площади поперечного сечения трубы ΔS/S₀ при увеличении давления на Δp.

Относительное изменение плотности нефти Δρ/ρ₀ может быть рассчитано по уравнению состояния нефти, которое известно в следующем виде:

Относительное изменение площади поперечного сечения ΔS/S₀ нефтепровода можно определить по методу Н.Е. Жуковского (рисунок справа).

Согласно этому методу, верхняя часть трубопровода (обозначено толстой линией на рисунке) приводится к равновесию под действием перепада давления (p₁ - p₀) и окружного напряжения σ в металле трубопровода. Условия равновесия следующие:

С другой стороны, закон упругости Гука, примененный к деформированному срединному волокну (пунктирная линия на рисунке), дает соотношение:

Подставив δ и заменив d на d₀, учитывая, что толщина стенки меньше диаметра трубы, получаем уравнение, в котором увеличение диаметра трубы Δd = d₁ - d₀ является функцией разности давлений внутри и снаружи (p₁ - p₀):

Здесь d₀ можно принять за внутренний диаметр трубы, откуда следует уравнение для относительного изменения площади поперечного сечения трубы ΔS/S₀:

Подставив результаты в формулу баланса массы получим уравнение:

которое позволяет выявить взаимосвязь изменения скорости течения нефти в нефтепроводе Δu = u₁ - u₀ и перепада давленияΔp = p₁ - p₀.

Баланс количества движения (импульса)

Изменение скорости потока вызывает изменение импульса возмущенного объема жидкости. Это изменение равно (ρ₁S₁u₁ - ρ₀S₀u₀)Δl или меньшему порядку величины ρ₀S₀u₀(u₁ - u₀)Δl. Согласно известной теореме механики, изменение импульса системы материальных точек равно импульсу всех внешних сил, действующих на эту систему, т.е. ρ₀S₀u₀(u₁ - u₀)Δl = (p₀ - p₁)S₀Δt, где Δt = Δl/c. Это дает следующее уравнение:

Это соответствует изменению давления в канале Δp = p₁ - p₀, вызванному изменением скорости жидкости Δu = u₁ - u₀. Из этого уравнения следует, что замедление потока (Δu < 0) вызывает повышение давления, а ускорение потока (Δu > 0) влечет за собой уменьшение давления.

Если предполагается, как в данном случае, что скорость от волны возмущения может быть положительной (когда волна распространяется вниз по течению) и отрицательной (когда волна распространяется вверх по течению), то полученное уравнение может быть записано в универсальной форме:

Уравнение (12.6) - это знаменитая формула Н.Е. Жуковского, известного русского ученого и инженера и "отца" русской авиации. Формула Жуковского гласит, что при изменении скорости жидкости, протекающей по трубе, пропорционально изменяется давление и, наоборот, пропорционально перепаду давления изменяется скорость жидкости, протекающей по трубе.

Выполнив подстановку, получаем вторую формулу Н.Е. Жуковского:

которая соотносит скорость распространения волны возмущения в трубе с параметрами жидкости и самой трубы.