МАГИСТРАЛЬНЫЕ НЕФТЕПРОВОДЫ

Математическое описание смесеобразования при последовательной перекачке нефтей

При последовательной транспортировке нефтей их содержание в смеси подвергается изменениям как вдоль осевой линии трубопровода, так и в поперечном сечении трубы, которые не существенны, поэтому интересны средние для сечения концентрации нефтей, также обозначаемая буквой с, подчеркивая при необходимости, что речь идет о тех или других. Средняя концентрация каждой нефти в смеси постепенно изменяется от 0 до 1, следовательно концентрация с зависима от координаты х вдоль оси трубопровода и времени t, которое прошло с момента начала процесса замещения:

На рисунке выше представлена кривая с = с(x, t₀) распределения среднего по сечению значения концентрации замещающей нефти в смеси в како-либо момент времени t₀. Видно, что перед областью AB смеси (правее сечения B) движется нефть №1; концентрация c в этой области равна "0".

За областью AB смеси (левее сечения A) движется нефть №2; концентрация c в этой области равна "1". В интервале сечений A и B находится область смеси, в границах которой концентрация c постепенное изменяется от "1" до "0".

Уравнение объемного баланса нефтепродуктов в смеси

Для описания процесса образования смеси в зоне контакта последовательно движущихся нефтей, в том числе для расчета объема образующейся смеси, используется одномерная диффузионная модель продольного перемешивания. Основное уравнение данной модели это по сути уравнение для расчета кривой c(x, t) распределения концентрации замещающей нефти в смеси. Форма этой кривой дает возможность выявить все характеристики смеси, в частности, вычислить протяженность и объем смесевой области.

Так как при смешении 2-ух нефтей объем получающейся смеси есть результат сложения объемов исходных составляющих, средняя скорость и перемещения нефти аналогичны во всех сечениях нефтепровода Q = Su. Поэтому процесс образования смеси удобно формлуировать в динамической системе отсчета, перемещающейся вдоль осевой линии нефтепровода именно с этой скоростью, и с точкой отсчета на границе раздела соприкасающихся партий.

Если бы взаимное замещение нефтей было полным и реализовывалось аналогично во всех точках сечения, то смесь бы не существовала: впереди по ходу транпортировки находилась бы 1-ая нефть, а сзади — 2-ая. Однако замещение одной жидкости другой в различных точках сечения имеет отличия - в центре сечения оно максимальное, а у стенок трубы минимальное. Клин позади перемещающейся жидкости внедряется в жидкую среду, перемещающуюся впереди, увлекая совместно с собой 2-ую нефть в зону 1-ой. Одновременно из-за низкой скорости жидкости пристенного слоя трубопровода впереди движущаяся жидкость притормаживает и оказывается в зоне 2-ой нефти. Турбулентные пульсации перемешивают вкрапления каждой нефти в другой по сечению трубопровода, с образованием смеси, которая определяет плавный переход от замещающей нефти к замещаемой.

Введем величину q(x, t), которая определяет объемный расход замещающей нефти через произвольное сечение x нефтепровода (напомним, в динамической системе отсчета), так что за время dt через это сечение перемещается объем q(x, t)dt замещающей нефти.

Если рассмотреть 2 близко находящихся сечения x и (x + Δx) в области смеси, то изменение объема вытесняющей нефти за время dt в области между этими сечениями:

С другой стороны, аналогичное изменение ет быть записано следующим образом:

где S - площадь поперечного сечения нефтепровода.

Приравняв уравнения выше получим дифференциальное уравнение объемного баланса замещающей нефти в смеси:

Смысл уравнения в следующем: изменение количества замещающей нефти в объёме между любыми сечениями трубопровода равняется разности объёмов этой нефти, поступающей через первое сечение и вытекающей через второе.

Интенсивность массообмена в области смеси

Для того чтобы решать дифференциальное уравнение объемного баланса вытесняющей нефти в смеси, требуется выявить зависимости массообмена разных нефтей в области их смеси, т.е. определить связь объемного расхода q(x, t) замещающей нефти (объемный расход замещаемой нефти равен, очевидно, uS - q(x, t) с параметрами распределения c(x, t) концентрации в потоке.

На рисунке выше представлена схема массообмена в любом из сечений области смеси. Суммированный расход жидкости (смеси нефтей) через сечение x динамической системы координат = "0", однако ее перетоки слева направо и в обратном направлении ≠ "0"; они равны между собой численно, но имеют противоположные знаки. Переток смеси через сечение x слева направо с расходом W₁ происходит, в основном, в центральной части трубопровода, в то время как переток смеси справа налево, имеет расход W₂ = -W₁ и реализуется, преимущественно, ближе к внутренней стенке трубопровода.

Расход W = W₂ = -W₁ перетока зависит от профиля осредненных скоростей в интервале 0 ≤ r ≤ R_*:

Если принять, что профиль скоростей турбулентного течения запсиан в логарифмическом виде:

то из сформулированных уравнений вытекают следующие соотношения:

В них постоянная k ≈ 0,4 называется константой Кармана, а v_* - динамической скоростью. Последняя выражается через касательное напряжение τ_ст трения на стенках трубы:

Так как τ_ст = λ/8ρu², где λ - коэффициент гидравлического сопротивления, то динамическая скорость связана с этим коэффициентом:

Подстановкой соотношения для v_* находится связь обменных перетоков W с расходом Q = uS перекачки:

Из полученной формулы следует, что расходы обменных перетоков относительно малы. Так, например, при λ = 0,025 значение W составляет 0,071 uS, т.е. всего ≈7,1 % расхода перекачки.

Встречные перетоки жидкости переносят через сечение x динамической системы отсчета как 1-ую, так и 2-ую нефти, однако средние концентрации c’ и c" каждой из нефтей в перетоках разные. Поэтому расход q(x, t) замещающей нефти через сечение x дается выражением:

В прямом перетоке (слева направо) концентрация c’ равна среднему для сечения значению концентрации замещающей нефти на некотором расстоянии l₁ позади сечения x. В обратном перетоке (справа налево) концентрация c" равна среднему для сечения значению концентрации замещающей нефти на некотором расстоянии l₂ впереди сечения x. Длины l₁ и l₂ можно было бы назвать длинами путей продольного перемешивания; они равняются дистанциям, на которых турбулентная диффузия смешивает вторгающуюся примесь по сечению трубопровода.

С точностью до малых более высокого порядка допустимо сформулировать:

Подставив сюда выражение W, получается:

Зависимость, которая выражает пропорциональность объемного расхода q(x, t) замещающей нефти градиенту dc/dх его концентрации, называется законом продольного перемешивания, а входящий в него коэффициент K [м²/с] - эффективным коэффициентом продольного перемешивания. Знак минус в формуле свидетельство того, что поток каждой нефти в смеси имеет направление от большего значения концентрации к меньшему, т.е. в сторону, противоположную градиенту ее концентрации.

Дифференциальное уравнение продольного перемешивания в области контактирования нефтей

Подставляя уравнение для объемного расхода q(x, t) замещающей нефти через градиент его концентрации согласно в уравнение объемного баланса этой нефти в смеси, получается следующее дифференциальное уравнение:

В общем случае коэффициент K константой не является по причине зависимости от структуры турбулентного течения в трубу, которой свойственно плавное изменение в области смеси (если плотности и вязкости соприкасающихся нефтей отличаются друг от друга) при переходе от нефти к нефти, то K может определяться концентрацией c и ее градиентом.

При K = const уравнение сводится к известному уравнению типа теплопроводности:

В данном контексте это уравнение, которое называется уравнением продольной диффузии. Оно является базовым для описания распределения концентрации c(x, t) замещающей нефти нефти в зоне взаимодействия, а также для расчёта протяженности и объема образующейся смеси. Данное уравнение применимо в системе отсчета, которая движется со средней скоростью при перекачивании.

Эффективный коэффициент продольного перемешивания

Количественный подход к расчету эффективного коэффициента продольного перемешивания K заключается в выяснении зависимости длин 1₁ и 1₂ перемешивания, от параметров, которые характеризуют турбулентное течение нефти в трубопроводе.

Английский механик Дж. Тейлор, занимавшийся изучением дисперсию примесей при турбулентном течении жидкости в трубопроводе, вывел для коэффициента K следующую зависимость:

которая дает для суммы (1₁ + 1₂) длин перемешивания значение 4d Эта зависимость была выведена теоретическим путем для чисел Рейнольдса, больших, чем 3·10⁴.

Юольшая часть остальных исследователей выводили завивисимости для K путем обработки экспериментальных данных. Так, например, зависимость В.С. Яблонского - А.Ш. Асатуряна - И.Х. Хизгилова имеет вид:

а более поздняя формула А.Ш. Асатуряна - запишется, как:

Американский исследователь Ф. Съенитцер, при обработке результатов промышленных испытаний на ряде трубопроводов США, вывел полуэмпирическую формулу следующего формата:

Последняя зависимость включает эмпирический коэффициент, котоырй учитывает поправку на дистанцию L перекачки, чего, конечно, теоретически быть не должно, потому что эффективный коэффициент продольного перемешивания зависит исключительно от параметов турбулентности. Однако зависимость Съенитцера дает результаты, максимально приближенные к получаемым на практике в условиях производственных площадок.