МАГИСТРАЛЬНЫЕ НЕФТЕПРОВОДЫ

Возникновение и рост смеси в зоне контакта двух нефтей

Рассмотрим пример решения основной задачи, на которой основываются все расчеты при последовательной перекачке нефтей (и нефтепродуктов).

Исходные данные и условия

В нефтепроводе, которые имеет длину L и внутренний диаметр d, осуществляется последовательная перекачка двух нефтей, при которой нефть №2 вытесняет нефть №1 со скоростью u = const. В начальный момент времени (t = 0) нефти позиционированы таким образом, что справа от начала системы координат в трубе располагалась нефть №1 (c = 0), а слева от начала системы координат - нефть №2 (c = 1), при этом смешение между ними не было.

Требуется определить, как образуется и прогрессирует смесь в зоне соприкосновения нефтей, т.е. найти распределение c(x, t) концентрации замещающей нефти и определить объем образующейся смеси.

Решение задачи

Поместим начало отсчета динамической системы координат на границу первичного соприкосновения нефтей. Тогда начальное условие для решения уравнения запишется следующим образом:

Кроме того, есть краевые условия: при x → + ∞ c = 0; при x → - ∞ c = 1. Последние означают, что вдали от области соприкосновения концентрации каждой из нефтей остаются неизменными.

Из соображений размерности решение этой задачи должно зависеть не от 2-ух переменных x и t отдельно, а только от единой их безразмерной комбинации:

Нетрудно проверить справедливость следующих уравнений:

После подстановки получаем стандартное дифференциальное уравнение для определения функции c = c(ξ):

Общее решение данного уравнения получается после двукратного интегрирования:

где A, B - постоянные интегрирования.

Чтобы найти постоянные интегрирования используются граничные условия задачи. Во-первых, при x → + ∞ ξ → + ∞ c → 0; во-вторых, при x → - ∞ ξ → - ∞ c → 1;. Следовательно, A и B удовлетворяют системе линейных уравнений:

Имеют место тождества:

учет которых позволяет определить A и B в следующем виде:

Теперь можно записать решение:

Сделав замену переменного β = - α/2, получим:

Окончательно, запишем решение задачи в следующем виде:

Стоящая в круглых скобках функция часто встречается в задачах статистики, называется “эрфиком" и записывается как erfc Z: Ее график представлен на рисунке справа. Для вычисления значений функции erfc Z имеются подробные таблицы. С помощью этой функции решение задачи записывается в более краткой форме:
	График функции с = 0,5 erfc Z: Z1 - точка, в которой с = 0,99; Z2 - точка, в которой с = 0,01

На схеме показано, как изменяется концентрация замещающей нефти в зависимости от координаты x в динамической системе отсчета для различных моментов времени. В начальный момент времени t = 0 она выглядит, как "ступенька”: слева с = 1, справа с = 0. Затем при t > 0 формируется зона плавного перехода от концентрации 1 к концентрации 0, которая с течением времени t плавно расширяется.