МАГИСТРАЛЬНЫЕ НЕФТЕПРОВОДЫ

Дифференциальные уравнения нестационарного движения нефти

Существует два таких уравнения. Первое - это уравнение неразрывности жидкости для закона сохранения массы транспортируемой нефти (рисунок справа).

Закон сохранения массы транспортируемой нефти, выписанный в письменном виде, гласит, что изменение массы нефти между заданным участком x и x + Δx трубы равно разности масс нефти, входящей и выходящей из участка трубы на этом участке. В математических терминах это записывается в виде уравнения:

в котором нижний индекс обозначает, сечение, для которого берутся требуемые параметры течения.

Поскольку с точностью до малых высшего порядка

то формулируем 1-ое дифференциальное уравнение:

где ρ(x, t); u(x, t); S(x, t) - неизвестные функции относительно x и t. Конечно, ρ(x, t) и S(x, t) близки к невозмущенным значениям ρ₀ и S₀, но с вычислительной точки зрения очень важно учитывать возникающие отклонения. Более того, если процесс течения постоянен, то производная по времени равна нулю, и уравнение показывает, что ρuS = const, т.е. массовый расход нефти постоянен вдоль трубы.

Второе уравнение - это уравнение движения нефти, выраженное в терминах второго закона Ньютона. Для удобства его можно сформулировать следующим образом: Изменение импульса нефти между сечениями x и x + Δx трубопровода равно разности между импульсом нефти, переносимой потоком в эти объемы и из них, и импульсом всех внешних сил, действующих на разделенные объемы нефти. В математическом выражении это записывается в виде уравнения:

Правая часть этого уравнения включает в себя:

• разность количества нефти за время Δt, которая поступает в рассматриваемый объем и вытекает из него;
• импульс силы давления, действующей на краях рассматриваемого объема;
• осевая составляющая силы реакции на боковые стенки (pdS).
• осевая составляющая гравитационной силы ρg sin α;
• α(x) - угол наклона оси нефтяной трубы относительно горизонтальной линии;
• sin α = dz/dx;
• осевая составляющая тангенциальной силы трения на внутренней поверхности трубы πdτ_wdx;
• τ_w - напряжение, обусловленное силой трения.

Выполнив математические преобразования, можно получить дифференциальное уравнение движения нефти:

Допущения и упрощения

При рассмотрении нестационарного потока нефти делаются следующие допущения и упрощения:

• Предполагается, что нефть является слабосжимаемой жидкостью. Поэтому ρ = ρ₀ + Δρ, где Δρ << ρ₀, и для всех коэффициентов плотность нефти предполагается замененной на невозмущенную величину.
• Изменение площади поперечного сечения стальной трубы очень мало S = S₀ + ΔS, где ΔS << S₀, и для всех коэффициентов площадь поперечного сечения трубы заменяется невозмущенным значением.
• Значение скоростного напора пренебрежимо мала по сравнению с пьезометрическим напором: u² << p/ρ.
• Принимается предположение о квазистатическом трении, согласно которому τ_w, выраженное уравнением C_wρu²/2 (где C_w - коэффициент трения или множитель Фаннинга), выражается коэффициентом гидравлического сопротивления λ.


Причем для функции λ от своих параметров используются формулы, применимые, строго говоря, исключительно для стационарного течения.

С учетом перечисленных допущений дифференциальное уравнение трансформируется сначала к виду:



после дальнейших подстановок, преобразованный вид формулы:



Дифференциальное уравнение движения нефти также преобразуется к виду:



Таким образом, мы приходим к основной системе двух дифференциальных уравнений, которые используются для вычисления двух неизвестных функций, а именно p(x, t) и u(x, t):




Рассмотрим S₀u(x, t) ≡ Q(x, t), принимая sin α = dz/dx и p/ρ₀g + z = H(x, t), определение нестационарного потока нефти в трубопроводе можно записать в терминах объемного расхода Q(x, t) и напора H(x, t):





Не нашли нужную информацию? Воспользуйтесь поиском по сайту