МАГИСТРАЛЬНЫЕ НЕФТЕПРОВОДЫ

Расчет нестационарных процессов в нефтепроводах методом характеристик

Расчет непостоянных режимов течения сложнее, чем расчет постоянных режимов течения. Не существует простых алгебраических выражений для расчета параметров потока для нестационарных режимов течения, просто потому, что режимов течения бесчисленное множество. Поэтому расчет нестационарных режимов течения в нефтепроводах, как уже упоминалось в начале статьи, проводится численно с помощью компьютера. Здесь представлен эффективный алгоритм расчета, основанный на методе характеристик.

Второе уравнение системы дифференциальных уравнений умножается на c, и результат прибавляется к первому уравнению. Результат:

Если на плоскости переменных (x, t) рассмотреть прямые линии, определяемые уравнениями:

и называемые характеристиками системы дифференциальных уравнений, можно обратить внимание, что для любого из параметров A(x, t):

Другими словами, выражение слева является производной по направлению первой характеристики функции A(x, t) (на обычном языке производная по направлению характеристики ξ = const). Аналогично:

То есть уравнение в левой части является производной функции A(x, t) по второму характеристическому направлению (или направлению t = const). Используя понятие направленной производной, полученное уравнение можно записать в виде:

Уравнение сформулированное выше называется характеристической формой системы дифференциальных уравнений.

Если φ = 0, то правая часть уравнения равна нулю. Это означает, что l₁ = p₀ + ρ₀cv сохраняется вдоль положительного характеристического наклона (dx/dt = c), а l₂ = p₀ + ρ₀cv - вдоль отрицательного характеристического наклона (dx/dt = - c). Значения l₁ и l₂ называются инвариантами Римана. Поэтому, когда f = 0, т.е. когда нет трения или гравитационной составляющей, первый инвариант Римана сохраняется вдоль положительного наклона характеристики, а второй инвариант Римана сохраняется вдоль отрицательного наклона характеристики.

Когда λ≠0, величины l₁ и l₂ не сохраняют своих соответствующих свойств. Однако уравнение может быть полезно для расчета различных нестационарных режимов работы нефтепровода, особенно при использовании численных расчетов.

Например, предположим, что распределения давления и скорости потока, т.е. функции p = p(x, t_m) и u = u(x, t_m), известны в каждый момент времени t_m) (в частности, t = 0) в нефтепроводе. Теперь мы покажем, как вычислить значения этих функций в следующий момент времени t_m+1 = t_m + Δt, отстоящий на Δt от заданного времени. Рассмотрим прямоугольную сетку в переменной плоскости (x, t), с шагами Δx в качестве координат и Δt = Δx/c в качестве времени.

Используя точки полученной сетки, опишем свойства x = ct + const и x = - ct + const с положительным и отрицательным наклоном. Предположим, что непрерывные распределения функций p(x, t) и u(x, t) заменены дискретными значениями p_m,k = p(x_k, t_m) и u_m,k = u(x_k, t_m) в вершинах полученной сетки. Предположим, что все значения p_m,k и u_m,k известны на некотором уровне t = t_m и необходимо найти значения функции решетки при t = t_m+1, т.е. p_m+1,k и u_m+1,k. На примере произвольной точки M(x_k, t_m+1) показано, как это можно сделать.

Направленные производные в уравнении заменяются конечными разностями вдоль линий AM и BM. Результат:

Это приводит к системе уравнений, которая определяет давление p_M и скорость u_M в точке M через известные значения этих параметров в точках A и B.

где φ_A и φ_B - значения функции φ, вычисленные по параметрам в точках A и B, соответственно. Из последней системы через те же значения параметров в момент времени t_m вычисляются значения давления p_m+1,k и скорости u_m+1,k потока нефти в трубопроводе в этот момент времени:

Таким образом, рекурректное уравнение в принципе решает проблему расчета неустойчивых процессов в нефтепроводах, поскольку позволяет вычислить давление и скорость потока в следующий момент по значениям давления и скорости потока в предыдущий момент. Поскольку предыдущий первый момент можно принять за начальное состояние потока (т.е. значения давления и скорости потока в момент с начальным состоянием t = 0), значения этих величин в следующий момент могут быть рассчитаны шаг за шагом с использованием уравнения для расчета параметров потока в каждый момент и нахождения всех технических параметров в интересующей нас неустойчивой области.